Разумеется, можете. Оформление временной регистрации (институт прописки упразднён в нашей стране несколько лет тому назад) не влечёт за собой прекращение постоянной регистрации по месту жительства.
Вместе с тем, получение лицензии на оружие предполагает обращение в лицензионно-разрешительные органы по месту постоянной регистрации (ОЛРР вашего ОВД), а получение водительских прав осуществляется в городе (посёлке) постоянного проживания и регистрации (не менее 3 лет) но без строгой привязки к конкретному району/округу (автошкола может быть в другом районе).